Физический энциклопедический словарь - зонная теория

В основе З. т. лежит т. н. о д н о э л е к т р о н н о е п р и б л и ж е н и е, базирующееся на след. упрощениях: 1) ат. ядра в узлах идеальной крист. решётки неподвижны (их масса велика по сравнению с массой эл-нов). 2) Эл-н движется в поле периодич. потенциала U(r) (r — пространств. координата точки), к-рое складывается из полей, создаваемых ядрами и остальными эл-нами. 3) Это периодич. поле обладает трансляц. инвариантностью:

U(r+an)=U(r), (1)

где аn — вектор n-го узла решетки. В такой модели для волн. ф-ции  эл-на в решётке выполняется теорема Блоха:

k(r)=uk(r)exkr, (2)

где uk(r+a)=uk(r), k — волновой вектор эл-на. Это означает, что k(r) имеет вид волн. ф-ции свободного эл-на, амплитуда к-рой промодулирована в пр-ве с периодом решётки.

Спектр энергии 8 эл-нов можно определить, подставляя волн. ф-цию в виде (2) в стационарное Шредингера уравнение и вводя те или иные граничные условия. Решение ур-ния даёт энергетич. спектр в виде серии полос разрешённых энергий ξl(k) (l — номера разрешённых зон), разделённых полосами запрещённых энергий. Из (1) следует, что ξl(k+b)=ξl(k), где b — вектор обратной решётки. Следовательно, ξl(k) — периодич. ф-ция с периодом b. Физически разл. значения k заключены внутри первой Бриллюэна зоны.

В соответствии с З. т. движение эл-на в решётке сходно с движением эл-на в свободном пр-ве, однако фактически носит туннельный хар-р. Квазиимпульс эл-на в ре-щётке p=hk отличен от импульса свободного эл-на. Для него выполняются законы сохранения, справедливо ур-ние движения dp!dt=F (F — внеш. сила). Эл-н в кристалле оказывается квазичастицей с эффективной массой m*, отличной от массы свободного эл-на m0. Энергия эл-на явл. ф-цией квазиимпульса ξ(р).

Энергетич. структура каждой зоны описывается ф-цией ξ(р), наз. дисперсии законом. Есть два осн. способа описывать энергетич. структуру зоны: 1) пусть координаты рх, ру и рz фиксированы, тогда ξ(рx) — кривая на плоскости (ξ, рх) (дисперсионная кривая, рис. 1). Повторяя эту операцию для (ξру) и (ξрг)

получим набор дисперс. кривых, полностью характеризующих ф-цию ξ(p). 2) Можно фиксировать какое-то значение энергии в к.-л. зоне ξl(p)=const. Это ур-ние поверхности в трёхмерном р-пространстве (изоэнергетич. поверхность). Изменяя константу, получим семейство изоэнергетич. поверхностей, характеризующих закон дисперсии. Изоэнергетич. поверхности обладают симметрией, связанной с симметрией кристаллов.

Физически происхождение зонной структуры энергетич. спектра эл-нов в кристалле связано с образованием

Рис. 1. Дисперсионные кривые ξl(рх) и ξl-1(px) при фиксированных pу и pz: ξс — дно l+1-й зоны (зоны проводимости), ξv — потолок l-той зоны (валентной зоны); ξg — ширина запрещённой зоны; заштрихованные области — уровни, заполненные эл-нами и дырками.

кристалла из N атомов, каждый из к-рых в свободном состоянии обладает дискретным электронным энергетич. спектром. При объединении N атомов в кристалл последний можно трактовать как гигантскую молекулу, в к-рой эл-ны всех атомов обобществлены и к-рую следует рассматривать как единую квантовомеханич. систему. В кристалле каждый из ат. уровней превращается в полосу, состоящую из N уровней (или с учётом спина — из 2N уровней), к-рая явл. разрешённой зоной ξl(p). Если на атом приходится Z эл-нов, то полное число эл-нов в кристалле равно NZ; они занимают уровни разрешённых зон начиная снизу, пока не будут полностью исчерпаны. Изоэнергетич. поверхность, соответствующая Ферми энергии: ξ(p)=ξF, наз. Ферми поверхностью. Ниж. зоны (довольно узкие) будут целиком заполнены эл-нами внутр. оболочек атомов. Заполнение эл-нами разрешённых энергетич. уровней происходит в соответствии с Ферми — Дирака распределением.

Хотя структура энергетич. зоны дискретна, уровни весьма близки (квазинепрерывны). Для описания распределения энергетич. уровней в зоне n(ξ) часто вводят ф-цию плотности состояний (уровней) g(ξ)=dn/dξ — число уровней на единичный энергетич. интервал. Вид ф-ции g(ξ) зависит от закона дисперсии. В простейшем случае, когда

ξ(р)=р²/2m*, то g(ξ)=Aξ^1/2, где А=(1/4²) (2m*/h²)^3/2.

Физ. св-ва кристаллов определяются в осн. верхними зонами, ещё содержащими эл-ны. Эиергетич. интервал ξg между «дном» ξc (минимумом энергии) самой верхней ещё содержащей эл-ны зоны и «потолком» ξv (максимумом энергии) предыдущей целиком заполненной зоны, наз. запрещённой зоной (хотя ниже по энергии может быть ещё неск. др. запрещённых и разрешённых зон). Если при T=0 все зоны, содержащие эл-ны, заполнены эл-нами целиком, а следующая «пустая» разрешённая зона отделена от данной достаточно широкой запрещённой зоной, то кристалл явл. диэлектриком (напр., у алмаза ξg~5 эВ); если ξg3 эВ, то — полупроводником. Если верхняя содержащая эл-ны зона заполнена эл-нами частично, то это металл. Возможно частичное перекрытие разрешённых зон или смыкание их (полуметаллы, бесщелевые полупроводники).

Внеш. воздействия (повышение темп-ры, облучение, напр. светом, или сильные внеш. электрич. поля) могут вызвать переброс эл-нов через запрещённую зону. В результате появляются «свободные» носители заряда (эл-ны проводимости и дырки), осуществляющие проводимость.

В ПП изоэнергетич. поверхность в зоне проводимости в простейшем случае явл. сферой или эллипсоидом. В более сложных случаях изоэнергетич. поверхность может быть многосвязной, напр. в виде совокупности эллипсоидов, «нанизанных» своими длинными осями на оси симметрии изоэнергетич. поверхности (рис. 2); для Ge их 8, для Si — 6. В этом случае в зоне проводимости есть неск. эквивалентных минимумов энергии. Области энергии в зоне проводимости вблизи каждого из минимумов наз. долинами, а ПП с неск. эквивалентными минимумами — многодолинными. В условиях равновесия эл-ны распределяются между долинами поровну.

Рис. 2. Эллипсоиды пост. энергии в Si.

При включении в данном направлении внеш. электрич. поля долины проявляют себя неэквивалентно из-за различий в величине эфф. масс и подвижностей эл-нов в разл. направлениях. Аналогичные эффекты имеют место и при воздействии одностороннего давления. Следствием

203

этой неэквивалентности может быть, в частности, анизотропия электропроводности, оптич. св-в и т. п.

Локальные нарушения идеальности решётки (примесные атомы, вакансии и др. дефекты) могут вызвать образование разрешённых локальных уровней и локальных зон внутри запрещённых зон. Применение З. т. возможно и в этом случае, и даже в случае аморфных тв. тел, хотя требует нек-рых модификаций (см. Неупорядоченные системы).

• См. лит. при ст. Твёрдое тело.

А. А. Гусев, Э. М. Эпттейн.